חוקים והסבר מספרים מרוכבים

מספרים מרוכבים

---

ההצגה הקרטזית

המספר המרוכב מיוצג על ידי האות , ושווה ל,

כאשר a הוא מקדם החלק הממשי, וb מקדם החלק המדומה. המספר המורכב מתפקד בעצם כמכיל שני חלקים נפרדים הלא ממש קשורים האחד לשני, המדומה והממשי.

בסיסי הפעולה עם מספר מורכב

המספר המרוכב בערך מוחלט שווה ל,

מספר צמוד של מספר מרוכב (), שווה ל,

בנוסף נכיר כי החלק המדומה במספר המרוכב (i) בחזקות שונות שווה ל,

כפל בצמוד

לא ניתן כי מספר מדומה יהיה במכנה שבר. במידה ונתקל במצב כזה, נתקנו על ידי כפל המונה והמכנה במספר הצמוד של המכנה (). ולאחר צמצום נקבל מספר ממשי במכנה. לדוגמא,

משוואה

במידה ומתקיים שוויון בין שני מספרים מרוכבים, נוכל להסיק כי "מקדם" החלק הממשי שלהם שווה, וכך גם המדומה. ובעצם יווצרו לנו שתי משוואות. כך,

מציאת שורש

במידה ונרצה למצוא שורש של מספר מרוכב, ראשית,

נרשום משוואה שבצד אחד שלה שורש המספר, ובצדה השני . האחרון יבטא את שורש המספר המרוכב, אותו נדרש למצוא.

וכעת, נבצע את הפעולות הללו,

1. נרשום את שני המספרים בצורה הקרטזית, ונסמן את המקדמים הממשיים של שני המספרים כa,b שונים המסומנים לפי אינדקס המספר המרוכב. (a1,b2;a2,b2)
2. נעלה את שני צדדי המשוואה בריבוע.
3. נחלץ ממנה את שני משוואות ה"מקדמים" כמו שראינו בסעיף ה'משוואה'.

מכיוון שנתון לנו נדע מראש את a1,b1. ונשתמש בהם ובשתי המשוואות שחילצנו על מנת למצוא את a2,b2. נציב אותם ונמצא את וכיוצא מזה את שורש המספר.

מקומות גאומטריים

כשנחקור מקומות גאומטריים, נסמן את המספר המרוכב כ,

נתייחס לחלק הממשי כערך הx ולחלק המדומה כערך הy. לרוב נקבל משוואה ונדרש להמירה ע"י פעולות אלגבריות למשוואה התאפיין צורה מגיאומטריה אנליטית (לעזר, סיכום גיאומטריה אנאליטית). לדוגמא, מציאת המקום הגאומטרי הבא,

1. נקבל משוואה עם מספר מרוכב בתוך ביטוי ערך מוחלט.
2. נרשום את המספר המרוכב כביטוי עם x,y.
3. נפתח את ביטוי הערך המוחלט לפי חוקי המספר המרוכב.
4. נעלה את המשוואה בריבוע והתקבלה לנו משוואת מעגל.

נציג את המעגל שהתקבל במישור גאוס, בנוסף, נציג את המספר המרוכב , כנקודה n.

ההצגה הקוטבית

הצגה זו הינה דרך נוספת לבטא את המספר המרוכב, בצורה יותר גיאומטרית. ונרשמת כך,

בהצגה זו r מייצג את המרחק של הנקודה מראשית הצירים במישור גאוס, ו הינה הזווית בין הכיוון החיובי של ציר x לנקודה כאשר מסתובבים נגד כיוון השעון. (לדוגמא ראו במישור למעלה עם ). cis הינו פשוט קיצור של הביטוי cos() + isin().

על מנת להגיע להצגה הקוטבית מההצגה הקרטזית, נשתמש בשתי הנוסחאות,

ובעזרת הצבות ה"מקדמים" מההצגה הקרטזית נגיע לזווית והרדיוס. על מנת לחזור להצגה הקרטזית מהקוטבית יש להציב את הזווית והרדיוס בביטוי הקוטבי, כשביטוי הcis פתוח, לאחר צמצום וסידור הביטוי תינתן הקרטזית.

על הזווית בהצגה הקוטבית () להיות (בין 0 ל360 מעלות). במידה ואינה, נתקן זאת ע"י הוספה או חיסור של 360 מעלות לזווית הנתונה, דבר הניתן בחוקי הcis (לראיית כל חוקי הcis בקרו בדף מקבץ חוקי אלגברה).

שורשי היחידה

למספר יכולים להיות עד שני שורשים שהינם מספרים ממשיים, חיובי ושלילי. אבל, מבחינה תאורטית, יכולים להיות למספר (ממשי או מרוכב) אינסוף שורשים שהינם מספרים מרוכבים. דבר העובד כך - כשמוציאים שורש רביעי של מספר מתקבלים ארבע שורשים מרוכבים שונים, לשורש שישי שישה שורשים מרוכבים, והלאה כך שלשורש n יהיו בעצם n שורשים מרוכבים. על מנת להבין כיצד נוציא את השורשים המרוכבים, נתחיל עם הוצאת שורשיו המרוכבים של המספר 1.

ביטוי זה מסמל פתרון יחיד כלשהו של הוצאת שורש, על מנת לקבל את הפתרון נציב:

• k - מייצג את מספר הפתרון, לדוגמא לשורש רביעי ארבעה פתרונות ההיו ממוספרים מפתרון מספר אחד עד ארבע. נקודה חשובה היא שעבור פתרון מספר אחד נציב בk אפס, ועבור השני אחד, כלומר נציב מספר הנמוך באחד ממספר הפתרון. על מנת להגיע בסופו של דבר לכלל הפתרונות לדרש להציב את כלל מספרי הפתרונות האפשריים.
• n - מייצג את מספר השורש, לדוגמא עבור שורש רביעי נציב את המספר 4.

אז, ראשית נציב את מספר השורש כn ואת מספר הפתרון הראשון כk=0, והפתרון היתקבל יחשב כ. וכך הלאה, בהתחשב בזה שמספר השורש הוא n, ולכן ישנם n פתרונות, נגיע לבסוף להצבה האחרונה k=n-1 שמספר הפתרון שלה יהיה . ונקבל את כל שורשי המספר המרוכבים.

כדי למצוא את שורשיו של כל מספר מרוכב, ראשית נמיר אותו להצגה קוטבית, ונשתמש בנוסחא הזאת,

נציב בנוסחא את הערכים המתאימים, ונגיע לכל הפתרונות כמו שעשינו עבור הספרה 1. נשים לב שאם הזווית המתקבלת בחלק מהפתרונות אינה בטווח , נתאים אותה לטווח זה כמו שעשינו לפני על ידי חיבור או חיסור של 360 על פי חוקי סיס.

עוד טיפים

1. בתרגילים שונים במספרים מרוכבים, תכלל סדרה הנדסית. לכן, מומלץ לחזור על כללי הסדרה ההנדסית.
2. סכום שורשי היחידה של 1, בסדרה הנדסית, הינם 1. ושורשי יחידה אלו במישור גאוס יוצרים מצולע משוכלל כך שמספר הצלעות הוא כוח השורש, לדוגמא שורש שלישי יתן משולש שווה צלעות. כמו המוצג בשרטוט המתחת לסעיף הבא.
3. על מנת "להוסיף מעלות" (לסובב נגד כיוון השעון) מספר כלשהו במישור גאוס, יש להכפילו ב, כך ש הינן מספר המעלות שרוצים להוסיף (למשל בשרטוט למטה נוספו ל 90 מעלות כ). זאת, ועוד חוקי סיס שכדאי להכיר יעזרו לנו לפתור תרגילים במישור גאוס שהינם מיקס בין גאומטריה דו מימדית לאנאליטית, הניתנים לפעמים.
   
   
4. כדאי לדעת זהויות טריגו בסיסיות, מכיוון שלעיתים צריך להשתמש בהם בתרגילים הכוללים הצגה קוטבית, למשל בבגרות קיץ 2019 שאלה 3. לכן מומלץ להסתכל על טבלת הזהויות קצת (זהויות טריגונומטריות).

---

---