חקירת פונקציות

חיתוך עם הצירים

מציאת חיתוך עם ציר x

נבדוק עבור אילו שיעורי x מתקיים עבור הפוקנצייה ש y=0 , כלומר שהנקודה על ציר הx.

מציאת חיתוך עם ציר y

נבדוק מהו שיעור הy של הפונקצייה כאשר x=0, כלומר כשהנקודה על ציר הy.

זוגיות ואי זוגיות

זוגית כאשר הצבת -x בפונקצייה שווה להצבת x בה לאחר צמצום שני צדדי המשוואה.

אי זוגית כאשר הכפלת הפונקצייה ב -1 שווה לפונקציה המקורית כאשר מציבים בה -x לאחר צמצום שני צדדי המשוואה.

במידה ושני תנאים אלה לא מתקיימים, הפונקצייה לא זוגית ולא אי זוגית. בנוסף, פונקציה לא יכולה להיות גם זוגית וגם אי זוגית, פרט לפונקציה y=0.
פונקציה זוגית הינה סימטרית ביחס לציר y, כלומר, אם נקפל את מערכת הצירים כך שקו הקיפול הוא ציר הy, שרטוטי הפונקצייה יתלכדו.
פונקציה אי זוגית סימטרית ביחס לראשית הצירים, מה שאומר שאם נקפל את מערכת הצירים לאורך ציר הx, ולאחר מכן לאורך ציר הy, שרטוטי הפונקצייה יתלכדו.

דוגמאות לפונקציה זוגית ואי זוגית,

משיק

נמצא משיק לפונקצייה בנקודה כללית: . ראשית, נמצא את שיפוע הפונקצייה באותה הנקודה (כלומר שיפוע המשיק) ע"י הצבת x1 ב.

לאחר מכן, נשתמש בנוסחא למציאת ישר, ועל ידי הצבת הנתונים, נמצא את המשיק.

כעת נצמצם ונקבל המשיק.

זווית המשיק

עוד דבר המתבקש בחקירת פונקציות לעיתים, הוא מציאת זווית בין המשיק לציר הx. נמצאו על ידי מציאת הזווית שבטנגנס שווה לערך השיפוע, כלומר,

דבר זה קורה עקב כך ש, והרי לפי טריגונומטריה,

תחום הגדרה

לא כל הפונקציות מוגדרות לכל x, כלומר שעבור מספרים מסויימים שנציב בפונקצייה, התוצאה שנקבל תהיה בלתי אפשרית מתמטית. לעיתים נתון תחום הגדרה מראש לפונקצייה, למשל לפונקצייה 1 בתרשים הזוגיות והאי זוגיות (גדול מ0). אך בנוסף לכך, ללא קשר להאם לפונקצייה נתון תחום הגדרה מראש, נדרש לבדוק בעצמנו האם ישנם ערכי x הלא יכולים להיות מוצבים בפונקצייה, ועל בסיסים לסכם תחום הגדרה.

עבור נדרש לבדוק ש, כלומר המספר בתוך השורש, גדול או שווה לאפס,

עבור , כלומר כאשר הפונקצייה במכנה, נבדוק ש,

עבור , כלומר, כל פונקצייה בחזקת שבר, נבדוק ש,

עבור , כלומר פונקציה בתוך לאן, נבדוק ש,

נדגיש שיכולים להיות שילובים בפונקצייה של כמה מאפיינים הדורשים בדיקת תחום הגדרה, למשל,

אנו נדרשים לבדוק לכל אחד מהתחומים מהו תחום ההגדרה עבורו, ולשלבם כך שהתחום הכולל ישלב את כל התחומים, כך שלא יוכלו להיות מוצבים בפונקצייה ערכי x ש"ישברו" אותה.

מציאת נקודות קיצון

בסיס

ראשית, על מנת למצוא את שיעורי הx של נקודות הקיצון פנימיות, עושים,

כלומר בודקים עבור אילו הצבות של x הנגזרת מתאפסת (לעזרה במציאת נגזרת, הסתכלו בדף חוקי נגזרות ואינטגרלים), ועל מנת למצוא את שיעור הy מציבים את שיעורי הx של הקיצון שהתקבלו מהנגזרת, בפונקצייה המקורית.

בנוסף לנקודות קיצון הפנימיות, נדרש למצוא גם נקודות קצה, אלו הנקודות בקצה תחום ההגדרה, ונכללות גם תחת ההגדרה של נקודות קיצון. הם יתקבלו רק בתחומים של "קטן שווה" או "גדול שווה". למשל עבור התחום, נקודת הקצה תהיה 0 בלבד. דבר זה קורה מכיוון שכאשר התחום הינו רק "קטן מ" או "גדול מ" הפונקצייה רק שואפת לאותו שיעור הx, ואיננה מגיעה אליו. ניתן לראות דוגמא לנקודת קצה בנקודה השמאלית ביותר של פונקצייה 1 מהשרטוט בסעיף הזוגיות והאי זוגיות.

במידה ושיעורי הx של נקודות הקצה התקבלו גם מ, כלומר הינן לכאורה גם נקודות קצה וגם נקודות קיצון פנימיות, נתייחס אליהן במציאת סוג הקיצון כנקודות קיצון פנימיות.

סוגי נקודות הקיצון

סוגי הקיצון היכולים להתקבל הינם קיצון מינימום, וקיצון מקסימום. ישנן שלושה אפשרויות למציאת סוג הקיצון (הפונקצייה שנמצא לה בסעיף זה את סוג נקודות קיצון, הינה פונקצייה 1 מהשרטוט בסעיף הזוגיות והאי זוגיות).

מציבים את שיעור הx של הקיצון ב, במידה והתוצאה חיובית, הנקודה הינה מינימום, במידה ושלילית, מקסימום, במידה ואפס זוהי אפשרות לפיתול. שיטה זו מהירה מאוד, אך לא ניתן לאפיין איתה נקודות קצה.
נסכם בטבלה את שיעורי הx של נקודות הקיצון, בנוסף לשיעורי x שאינן קיצון פנימי לבחירתנו, כך שעבור כל שיעור x של קיצון פנימי, יהיו ערכי x שאינם קיצון פנימי משני צדדיו (כלומר, ניתן נקודות קצה). נציב כל שיעור x שסיכמנו, ב (בנגזרת), ונסכם את התוצאות שהתקבלו מ בטבלה.

במידה והתוצאה שלילית זוהי ירידה, וחיובית עלייה. לכן, כאשר מתרחש בנקודות הקיצון הפנימיות מעבר מחיובי לשלילי, הנקודה הינה מקסימום, וכאשר מתרחש מעבר משלילי לחיובי, הינה מינימום. אם אין שינוי, זהו פיתול. במקרה של קצה, אם התקבלה עבור שיעור x הקצה תוצאה חיוביות, כלומר עלייה, הינה מינימום, ובמידה והתקבלה ירידה, הינה מקסימום. לדוגמא, (עבור פונקצייה 1 מהשרטוט בסעיף הזוגיות והאי זוגיות),
נשים לב שנוכל להשתמש בטבלה רק כאשר הפונקצייה מוגדרת לאורך כל הקטע שבו מציבים נקודות, במידה וישנן נקודות קיצון הדרושות אפיון בתחומי הגדרה שונים, נצטרך לפצל את הטבלה לשתים, או יותר. הערה זו תקפה גם לדרך 3.
נסכם טבלה כמו שתואר בדרך 2, רק שכאן, ערכי הx המוצבים מצדי נקודות הקיצון הפנימיות, יכולים להיות נקודות קיצון פנימיות גם כן. ובנוסף, נדרש שלצד נקודת קצה, יהיה שיעור x נוסף אחד לפחות. לאחר מכן, נציב כל שיעור x שסיכמנו, ב (הפונקצייה המקורית), ונסכם את התוצאות שהתקבלו מ בטבלה.
במידה והתוצאה בשיעור x הקיצון קטנה משל לפניה ואז בשיעור הבא גדלה, הינה מינימום. במידה והתוצאה בשיעור x הקיצון גדולה משל לפניה ואז בשיעור הבא קטנה, הינה מקסימום. במקרה של קצה, במידה והתוצאה הבאה גדולה מהתוצאה בקצה, הקצה הינו מינימום, במידה וקטנה יותר, הינו מקסימום. לדוגמא, (עבור פונקצייה 1 מהשרטוט בסעיף הזוגיות והאי זוגיות),

תחומי עלייה וירידה

תחומי העלייה והירידה נקבעים לפי חיוביות או שליליות (הנגזרת), כאשר שלילית יורדת, כאשר חיובית עולה. ישנן שני דרכים למציאת תחומי עלייה וירידה,

פתירת אי השוויון (באילו תחומים הנגזרת גדולה מ0). התחום שייתנן יהיה תחום העלייה, ושאר התחום, (שייסומן ב"קטן מ" ו "גדול מ", ולא ב "קטן שווה" או "גדול שווה" עקב היות קצוות תחום העלייה נקודות קיצון שאינן בעלייה או ירידה) יהיה תחום הירידה.
דרך יעילה הרבה יותר, תהיה להשתמש בנקודות הקיצון וסוגן. ידוע שלפני נקודת מקסימום ישנה עלייה, ואחריה ירידה, וההפך עבור מינימום. כך נוכל לדעת את תחומי העלייה והירידה בתחומי ההגדרה שבהם קיימות נקודות קיצון, בשאר, נציב נקודה רנדומלית מהתחום בנגזרת, למציאת האם ישנה בו עלייה או ירידה, דבר שלא ישתנה במשך כל אותו התחום עקב אי קיום נקודות קיצון בו. נסכם כך את תחומי העלייה והירידה בכל תחום הגדרת הפוקנצייה, ונמצא את המתבקש.

אסמפטוטות מאונכות

אסמפטוטה אנכית הינה בעצם מצב שבו הפונקצייה שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף. מצב זה נוצר כאשר חלק מהפונקצייה שווה עבור שיעור x מסויים, ל (כלומר כל מספר חלקי 0, כאשר ), או כאשר ישנו חלק מהפוקנצייה השווה ל (לאן של 0). על מנת למצוא את האסמפטוטה עבור ביטוי הלאן, נשווה את ביטויו הפינימי לאפס, ונמצא את ערך הx עבורו הביטוי מתאפס. בשביל למצוא מתי מצב זה נוצר משבר, נשווה המכנה לאפס, לדוגמא,

לאחר שנתוודע כי המכנה מתאפס עבור , נציב ערכים אלו בפונקצייה לבדיקה האם מתקיים עבורם (אן חלקי 0). עבור x=-2,

התקבל , ולכן ישנה אסמפטוטה עבור x=-2. כעת נציב x=2,

קיבלנו את המצב (אפס חלקי אפס), ולכן עבור x=2 אין אסמפטוטה, אלא חור. על מצב זה נרחיב בסעיף הבא.

לפעמים נדרש למצוא התנהגות בקרבת אסמפטוטה, כלומר האם שואפת לפלוס או מינוס אינסוף. ישנן שתי שיטות לכך,

נסכם בטבלה ערכי y של נקודות קרובות לאסמפטוטה, שהפונקצייה מוגדרת מהן ועד לאסמפטוטה. נשים לב למגמות הפונקצייה משני צדדי האסמפטוטה, שיכולות להראות לאן הפונקצייה שואפת, למשל עבור הפונקצייה הנ"ל,

נשים לב שמצד ימין של האסמפטוטה ככל שמתקרבים אליה הערכים עולים, לכן שואפת לפלוס אינסוף. ומצד שמאל הינם יורדים, לכן שואפת למינוס אינסוף. שיטה זו מאוד לא מומלצת מכיוון שהיא לא תעבוד כאשר ישנן נקודות קיצון בקרבת האסמפטוטה, לכן אמליץ יותר על שיטה 2.
לפי תחומי העלייה והירידה, שבדרך כלל נדרש לבדוקם בסעיף קודם, נדע אם הפונקצייה עולה או יורדת מכל צד של האסמפטוטה, אם מימין עולה, שואפת מצד זה למינוס אינסוף, אם יורדת, לאינסוף. אם משמאל עולה, שואפת מצד זה לפלוס אינסוף, אם יורדת, למינוס אינסוף.

חורים

חורים הינן נקודות שאינן מוגדרות בפונקצייה, הם קורים כאשר נוצר בפונקצייה מצב של (אפס חלקי אפס), כמו הנוצר בדוגמא הנ"ל. בשביל למצוא את שיעור הy של החור, נצטרך לצמצם את הפונקצייה, למשל עבור הנ"ל,

ונציב את שיעור הx של החור,

ולכן החור שואף ל (שלוש ורבע). מצב של חור נוצר גם כאשר מתקיים (e בחזקת מינוס אינסוף).

אסמפטוטות אופקיות

אסיפטוטה אופקית נוצרת כאשר פונקצייה שואפת לערך y מסויים בטווחי הפלוס או מינוס אינסוף. נתקל בהן בפונקציות שבר, לדוגמא בפונקצייה,

ישנן שתי דרכים לקבלת האסמפטוטה,

נמצא את ערך הy של האסמפטוטה על ידי סיכום מקדם ה"x החזק ביותר" במונה ובמכנה, וחילוקם אחד בשני כך ש,

ה"x החזק ביותר" בעצם אומר, באיזה חלק מהפונקצייה במידה ונציב מספר גדול מאוד (עבור מינוס אינסוף מספר שלילי גדול מאוד), התוצאה שתצא תהיה הגבוהה ביותר בערך מוחלט. למשל, בפוקנצייה המוצגת למעלה, "x החזק ביותר" הינו (לפי השיטה אסימפטוטה בy=0.5).
חוזק ה"חלקים" עבור ,

חוזק ה"חלקים" עבור ,

נצטרך לבצע זאת עבור , ו לחוד.
נוכל להתעלם משאר ה"חלקים" חוץ מה"חלק" החזק ביותר, מכיוון שבערכם, באינסוף, ביחס ל"חלק" החזק ביותר, שאר ה"חלקים" זניחים. נדגיש ש חזק מ, ו (לוג בסיס 2) חזק מ , שחזק מלוג בסיס 11.
אם ה"חלק" החזק ביותר בשבר קיים רק במונה, אין אסמפטוטה, במידה וקיים רק במכנה, האסמפטוטה שואפת לאפס.
השיטה הבאה עובדת רק עבור שברים שלא כוללים ביטויים מעריכיים, או לוגריתמים. זוהי דרך יותר איטית, אך נהיה חייבים להשתמש בה כאשר נחקור פוקנציות עם מספר "חלקים" הנמצאים תחת שבר אחד במונה או במכנה. נדגים את השיטה על פונקצייה בה זהו המקרה,
ראשית, נמצא את ה"x החזק ביותר" עבור . כאשר קיים ביטוי בתוך שורש, x שאליו נתייחס יהיה שורשו של המקור. למשל עבור, כלומר עבור שורש המכיל x בריבוע וx ברביעית, ה"חלק" החזק ביותר יהיה האחרון. ועקב כך שנקח את שורשו, ה"חלק" המתקבל יהיה x בריבוע. כעת נחלק את המונה והמכנה ב"x החזק ביותר". למשל,

נעצור רגע את התהליך, ונסביר - לפי השיטה הזאת, כל מספר הלאחר צמצום מחולק באיקס כלשהו, שווה לאפס. והמספרים הלא מחולקים בx ישארו. ומה שנותר יהיה שיעור y האסמפטוטה.
כאשר אנו נדרש להכניס לשבר את ה"x החזק ביותר" כחלק מהליך החילוק, נכניסו בריבוע לפי חוקי שורשים, ונצטרך לפצל את התוצאה ל ו, ועבור נוסיף מינוס לפני השבר. כעת נמשיך את הפתרון ונמצא ש,

נקודות פיתול וקעירות

ראשית, קעירות כלפי מעלה () קיימת כאשר (נגזרת שנייה) חיובית, וכלפי מטה () כשהיא שלילית. על מנת למצוא את שיעור הx של נקודות הפיתול, עושים,

כלומר בודקים עבור אילו שיעורי x הנגזרת השנייה מתאפסת, ועל מנת למצוא את שיעור הy פשוט מציבים את ערכי הx שהתקבלו בפונקצייה (). ישנן שתי אפשרויות למציאת סוג הפיתול,

קודם ראינו שקעירות כלפי מעלה קיימת כאשר חיובית, וכלפי מטה כשהיא שלילית. בנתון זה נשתמש בקביעת סוג הפיתול, סוגי הפיתול הם מקעירות כלפי מעלה למטה, וכלפי מטה למעלה. נמצאן על ידי הצבות שיעורי x בטבלה, כמו שמילאנו טבלה בחלק מציאת נקודות הקיצון (דרך 2), כאשר נתייחס לנקודות הפיתול כאל נקודות קיצון פנימיות. ונמצא עבור כל שיעור x את ערך המתקבל בהצבתו, לדוגמא (עבור פונקצייה 1 מהשרטוט בסעיף הזוגיות והאי זוגיות),
מציבים את שיעור x הפיתול ב (הנגזרת השלישית). במידה והתוצאה שלילית, אז בנקודה ישנו מעבר מקעירות מטה למעלה, במידה וחיובי, מקעירות מעלה למטה.

חלקי האתר

בסיס חקירת פונקציות