כלל סוגי הפונקציות ומאפייניהן

סוגי פונקציות

---

לפעמים נדרש לשרטט מחדש פונקצייה שכבר חקרנו ושרטטנו, לאחר שתתבצע עליה פעולה מסויימת (למשל העלאה בריבוע). זהו מדריך לכיצד נבצע זאת בפשטות. בנוסף מומלץ לקרואו על מנת להבין לעומק יותר את ההשפעה של פעולות שונות על פונקצייה. פונקציית הבסיס איתה נעבוד הינה,

---

העלאה בריבוע

הנגזרת

הנגזרת כעת תהיה (לגזירה ניתן להיעזר בדף נגזרות ואינטגרלים),

מהנגזרת החדשה נוכל להסיק כי,

1. שיעורי הx של נקודות החיתוך של (הפונקצייה המקורית) עם ציר הx הופכות לקיצון. כל נקודות הקיצון שייתווספו בדרך זו יהיו קיצון מינימום, שערך הy שלהם יהיה 0. הסיבה שהן תמיד יהיו מינימום, היא בשל כך שאם הן יהיו מקסימום, המשך הפונקצייה החדשה ירד מתחת לאפס לאחריהן, מה שלא יהיה הגיוני עקב ההעלאה בריבוע.
2. נראה כי חיובית ושליליות הנגזרת החדשה תלויה ב וגם ב. לכן נוכל להגיד ככלל שתחומי העלייה והירידה נותרים זהים, בתחומים שבהם (פונקציית המקור) חיובית, ומתהפים כשהיא שלילית.
3. שיעורי הx של שאר נקודות הקיצון של הפונקצייה המקורית ישארו כמו שהם גם בחדשה, ובהתאם לסעיף הקודם, סוגם יתהפך אם לפני ההעלאה הם היו מתחת לציר x, במידה והיו מעליו, סוג הקיצון ישאר. שיעור הy של נקודות הקיצון ישתנה ל.

---

הכנסה לשורש

הנגזרת

הנגזרת כעת תהיה,

מהנגזרת החדשה נוכל ללמוד כי שיעורי הx של נקודות הקיצון נשארים, כך גם סוגם, ותחומי העלייה והירידה ככלל. מצב זה נוצר היות וחיוביות או שליליות הנגזרת החדשה תלויה בצורה ישרה אך ורק בחיוביות או שליליות , וכך גם איפוס הנגזרת החדשה. (במכנה נמצאת בשורש, לכן המכנה ככלל יהיה חיובי לכל x). ערך הy של נקודת הקיצון משתנה ל.

יכולות מיוחדות

כשאר קטנה מאפס הפונקצייה החדשה לא מוגדרת (לא ייתכן שורש שלילי). בנוסף, עולה או יורדת יותר בהדרגתיות מהמקורית בתחום 0.25>y (כאשר y קטן מ0.25), ובתחום הנגדי עולה או יורדת פחות בהדרגתיות.

---

הופכית

הנגזרת

הנגזרת כעת תהיה,

מהנגזרת החדשה נוכל להסיק ששיעורי הx של נקודות הקיצון נשארים, אך תחומי העלייה והירידה יהיו הופכיים. זאת עקב כך שהנגזרת החדשה מוכפלת ב-1, המכנה חיובי לכל x, והמונה הינו הנגזרת המקורית. כתוצאה מכך, נדע כי סוגי הקיצון יתהפכו. שיעורי הy של נקודות הקיצון משתנים ל.

יכולות מיוחדות

אסימפטוטות אנכיות הופכות לחורים על ציר x, וחיתוכים עם ציר x הופכים לאסמיפטוטות אנכיות.

---

חזקת שבר

הנגזרת

הנגזרת כעת תהיה,

מהנגזרת החדשה נוכל להסיק כי

1. שיעורי הx של נקודות הקיצון נשארים, כך גם סוגם, ותחומי העלייה והירידה ככלל. זאת כתוצאה מהתלות הישירה של חיוביות או שליליות הנגזרת החדשה בחיוביות או שליליות (הנגזרת המקורית). התלות הישירה נגרמת מכך שהפונקצייה החדשה לא מוגדרת במידה ו שלילית, שכן מספר שלילי בחזקת שבר כלשהו לא יהיה מוגדר (לפחות לפי החומר הנלמד), ולכן כל מספר בתחום ההגדרה בחזקת שבר יהיה חיובי. ערך הy של נקודת הקיצון משתנה ל.
2. בנוסף נשים לב כי ייתכן כי יתווספו עוד נקודות קיצון, זאת בשל כך שהנגזרת החדשה מתאפסת כאשר שווה לאפס. נקודות אלו ישמרו על סוגם כנאמר בסעיף הקודם. אבל, במידה והיו בקצה תחום ההגדרה, יהיו נקודות קצה ולא קיצון.

יכולות מיוחדות

כשאר קטן מאפס הפונקצייה החדשה לא מוגדרת. זאת כמו שצויין למעלה, אבל חשוב להדגיש שאם הפונקצייה החדשה הייתה נתונה כשורש שלישי ולא כשבר, היא כן הייתה מוגדרת.

---

חזקה של e

הנגזרת

הנגזרת כעת תהיה,

מהנגזרת החדשה ניתן להסיק כי שיעורי הx של נקודת הקיצון נשארים, וכך גם סוגם, ותחומי העלייה והירידה ככלל. דבר שניתן להסיק עקב תלות חיוביות או שליליות הנגזרת החדשה ב בלבד, עקב היות e בחזקת כל מספר - מספר חיובי. שיעור הy של נקודות אלו הופך ל .

יכולות מיוחדות

אסימפטוטות אנכיות השואפות למינוס אינסוף הופכות לחורים על ציר הx, אסמפטוטות אנכיות השואפות לפלוס אינסוף ישארו. בחיתוכים עם ציר x של שיעור הy של הפונקצייה החדשה יהיה 1.

---

בתוך לאן

הנגזרת

הנגזרת כעת תהיה,

מהנגזרת החדשה והפונקצייה החדשה ניתן להסיק כי שיעורי הx של נקודת הקיצון נשארים, וכך גם סוגם, ותחומי העלייה והירידה ככלל. דבר הקורה עקב כך שהפונקצייה החדשה לא מוגדרת כאשר שלילית (לא ייתכן מספר שלילי בתוך לאן). לכן חיוביות או שליליות הנגזרת החדשה תלויה בחיוביות או שליליות (הנגזרת המקורית) בלבד. שיעורי הy של נקודות הקיצון משתנים ל .

יכולות מיוחדות

הפונקצייה החדשה לא מוגדרת כאשר שלילית או שווה לאפס. כאשר שווה לאפס נוצרת בפונקצייה החדשה אסימפטוטה אנכית השואפת למינוס אינסוף. כאשר שואפת לפלוס אינסוף, נשארת האסמפטוטה אנכית השואפת לפלוס אינסוף. כש שווה ל1 הפונקצייה החדשה שווה לאפס.

אא

---